Oeuvres de Lagrange

La solution de tout problème déterminé se réduit, en dernière ana-lyse, à la résolution d’une ou de plusieurs équations, dont les coeffi-cients sont donnés en nombres, et qu’on peut appeler équations numé-riques. 11 est donc important d’avoir des méthodes pour résoudre
complètement ces équations, de quelque degré qu’elles soient. Celle
que l’on trouve dans le Recueil des Mémoires de l’Académie de Berlin
pour l’année 1767, est la seule qui offre des moyens directs et sûrs de
découvrir toutes les racines tant réelles qu’imaginaires d’une équa-tion numérique donnée, et d’approcher le plus rapidement et aussi
près que l’on veut de chacune de ces racines. On a réuni dans Je pré-sent Traité le Mémoire qui contient cette méthode et les Additions qui
ont paru dans le volume des Mémoires de la même Académie, pour
l’année 1768. Et pour rendre ce Traité plus intéressant, on y a joint
plusieurs Notes, dont les deux dernières paraissent pour la première
fois dans cette nouvelle édition. Ces Notes contiennent des recherches
sur les principaux points de la théorie des équations algébriques.
Il faut bien distinguer la résolution des équations numériques de ce
qu’on appelle en Algèbre la résolu^on générale des équations. La pre-mière est, à proprement parler, une opération arithmétique, fondée à
la vérité sur les principes généraux de la théorie des équations, mais dont les résultats ne sont que des nombres, où l’on ne reconnaît plus
les premiers nombres qui ont servi d’éléments, et qui ne conservent
aucune trace des différentes opérations particulières qui les ont pro-duits. L’extraction des racines carrées et cubiques est l’opération la
plus simple de ce genre; c’est la résolution des équations numériques
du second et du troisième degré, dans lesquelles tous les termes inter-médiaires manquent. Aussi conviendrait-il de donner dans l’Arith-métique les règles de la résolution des équations numériques, sauf à
renvoyer à l’Algèbre la démonstration de celles qui dépendent de la
théorie générale des équations.