Je me suis proposé, dans ce polit Volume, d’exposer les principes sur lesquels reposent les méthodes de développe ment des fonctions d’une variable complexe en séries de polynômes. Me conformant à la règle adoptée dans cette Collection, je l’ai écrit de manière à le rendre accessible à des lecteurs possédant seulement les premières notions de l’Analyse et j’ai rappelé au début les parties essentielles de la théorie des fonctions analytiques utilisées dans les pages suivantes, en apportant à leur exposé les éclaircissements et les compléments nécessaires. Pour Ja rédaction, j’ai eu constamment recours aux Mémoires originaux : les méthodes du texte ne sont pas tou jours les mêmes que celles de ces Mémoires, et cela est bien naturel parce que, les différentes parties d’un Livre se prêtant un mutuel appui, l’une peut servir à éclaircir et à simplifier l’autre. Le problème le plus simple, celui de la représentation d’ung .fonction analytique par la somme d’une série de polynômes, dans un domaine où cette fonction est régulière, a été traité par diverses méthodes. J’ai cru devoir les exposer à cause de leur élégance et deTin.érêl que présentent les principes, utiles dans d’autres recherches, sur lesquels elles sont fondées. Un lien rattache toutes ces méthodes : c’est l’intégrale de Cauchy; elles ne diffèrent que par les procédés de calcul et d’approximation indéfinie de cette intégrale. VI PRÉFACE. J’ai consacré tout un Chapitre aux travaux de ,M. Fabcr, dont les résultats constituent une généralisation importante des séries de Taylor : à chaque domaine correspond une famille de polynômes qui ne dépendent que de la forme de ce domaine et toute fonction.régulière dans le domaine peut être représentée par la somme d’une série formée avec les polynômes de la famille. L’étude de la représentation d’une fonction par une série de polynômes, convergente dans son étoile d’holomorphie, n’a pas été abordée ici : les belles méthodes de M. Painlevé unissent en effet le domaine réel et le domaine complexe, et leur auteur les a exposées dans une Note contenue dans Je Livre de M. Borel, Leçons sur les fonctions de variables réelles et les développements en séries de polynômes, à laquelle je renvoie le lecteur. Je suis heureux de remercier ici M. Emile Borel qui m’a engagé à écrire ce Livre et m’a aidé de ses conseils au cours de la rédaction. La lecture des épreuves a fourni à M. Henri Lebesgue l’occasion de remarques importantes et d’indications judicieuses qui m’ont été fort utiles : je liens à lui en exprimer mon affectueuse gratitude.