Les séries trigonométriques, révélées aux mathématiciens par les théories physiques, ont joué un rôle immense dans l’élaboration des idées générales de l’Analyse moderne. Elles ont servi de banc d’épreuve à maints outils opératoires forgés pour les besoins du calcul infinitésimal. Ces sortes d’expressions analytiques ont obligé à donner son sens général au mot de fonction, à préciser les défini tions de la convergence des suites, de la continuité des fonctions. Il a fallu avec Riemann attribuer une valeur à l’intégrale définie des fonctions discontinues. On a vu par cette espèce de séries que la continuité et la dérivabilité sont deux notions distinctes. Elles nous ont appris que les problèmes du monde concret mènent à des conceptions mathématiques opposées à celles que les analystes classiques regardent comme seules naturelles, et qui tout au con traire sont ignorées de la nature. Elles ont fourni un champ d’appli cation, si même elles n’ont pas donné naissance à ces subtiles et profondes évaluations d’intégrales définies que sont la seconde formule de la moyenne, l’inégalité de Schwartz, et toutes celles qui en dérivent ou procèdent de raisonnements analogues. Aussi, les sujets de recherches concernant |les séries trigonomé- , triques ont beau paraître cantonnés sur un terrain très étroit, il est rare qu’ils n’olfrent pas pour la théorie des fonctions de variables réelles un intérêt d’une haute généralité, parce qu’ils mettent en œuvre les ressources les plus variées de cette discipline et qu’ils suggèrent d’en ajouter de nouvelles au fonds déjà disponible. -) 0 •À VIII PRÉFACE. Le problème auquel sont consacrées tes leçons est ainsi posé : Si une fonction es't développable en une série trigonométrique (partout convergente), celle-ci est unique. Ses coefficients sont donc, s’ils existent, parfaitement déterminés par la fonction. Comment, connaissant celle-ci, pourra-t-on calculer ces coefficients? Telle est la question que nous résolvons dans cet Ouvrage. Quand la somme donnée de la série est continue, ou simplement intégrable au sens de Riemann (comme c’est le cas si la fonction est à variation totale bornée) ou même sommable au sens de M. Lebesgue, la solution est classique. Elle est fournie par les formules élémentaires et bien connues de Fourier. Mais la fonction la plus générale développable en série trigonomé trique n’est même pas intégrable à la façon des nombres dérivés finis des fonctions continues, par le, calcul que j’ai appelé la totali sation simple, il faut donc en définir un nouveau, plus compréhensif encore, pour parvenir à donner un sens numérique certain aux for mules de Fourier appliquées à toute fonction trigonométriquement développable. J’avais énoncé en 1921 les règles de ce calcul, dans cinq Notes parues aux Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris (t. 172, p. 653, 833, 908, 1218; t. 173, p. 127). Mais l’exposé de ma méthode revêtait une forme trop condensée pour qu’aucun des nombreux mathématiciens intéressés par les séries trigonomélriques ait entièrement reconstitué mes raisonnements et trouvé la possi bilité d’étendre aux fonctions justiciables de mon nouveau calcul une partie tout au moins des considérations et des résultats obtenus pour les séries trigonométriques attachées aux fonctions sommables de M. Lebesgue. Chargé pendant le premier semestre de l’année scolaire 1938-1989 de remplir auprès de l’Université Harvard une mission de professeur d’échange de l’Université de Paris, je projetai de consacrer mon enseignement à l’exposé de ma méthode et de toutes les notions dont elle supposait la connaissance préliminaire. Je saisis avqc plaisir cette occasion de remercier mes collègues de Harvard du bienveillant accueil que j’ai reçu d’eux, et particulièrement de l’horneur que me PRÉFACE. IX firent certains d’entre eux en suivant assidûment mes cours. Je dois une reconnaissance toute particulière à M. le Professeur Mac Lane, dont l’intérêt pour le sujet traité ne se démentit pas et qui, en appelant fréquemment mon attention sur les points exigeant des éclaircissements plus complets, aura beaucoup contribué à rendre plus satisfaisante la présentation de mes résultats. L’Ouvrage que je soumets à l’examen du public mathématique constitue la rédaction et la mise au point de mes Leçons de Harvard. Comme oto. doit s’y attendre d’après ce qui précède, une partie seule ment dé ce livre a strictement trait à la solution du problème posé, â savoir de calculer les coefficients d’une série trigonométrique de somme donnée. Le reste forme divers chapitres de la théorie géné rale des fonctions de variables réelles. Leurs applications possibles dépassent de beaucoup celle quLen est ici particulièrement faite. J’expose une étude géométrique des ensembles parfaits linéaires. J’insiste sur la nature topologique des ensembles définis par les fonctions se présentant comme limites d’indétermination des familles de fonctions continues. Les théorèmes déduits de cette considé ration sont d’une telle généralité qu’ils dominent toute l’Analyse. Je rappelle la définition de la totalisation simple et je la rattache à la totalisation des séries, notion que je développe ici pour la première fois. Je défends la légitimité de l’emploi du transfini, contre lequel un purisme logique me paraissant excessif sévit aujourd’hui, tendant à priver les mathématiques d’un instrument d’investigation et de construction extrêmement précieux et irremplaçable. Ma tâche n’eût pas été achevée si je n’avais pas construit des exemples de fonctions développables trigonométriquement et pourlesquelles aucune simplifi cation aux règles formulées en vue du calcul des coefficients ne peut être apportée. Ma solution couvre toute la difficulté du problème, mais sans dépasse’r sensiblement celle-ci. 9 Je conserve le vocabulaire qui m’a servi dans la série de mémoires où j’ai étudié la dérivation du premier ordre et son calcul inverse. Ce langage a été adopté par quelques analystes, à leur satisfaction. Il attribue des appellations distinctes à des notions,de nature diffé rente, sinon/opposée. L’esprit de synthèse a ses avantages, mais > ) X PRÉFACE. aussi ses dangers quand il s’efforce d’amalgamer des éléments hété rogènes dans une fausse apparence d’unité. f Je remercie M. Émile Borel d’avoir bien voulu admettre ce volume dans sa célèbre collection de monographies, auxquelles les mathé matiques modernes sont redevables d’une si puissante impulsion. A la présentation matérielle de cet Ouvrage, le lecteur jugera que l’imprimerie Gauthier-Villars n’est pas près de renoncer aux vieilles traditions qui ont fait sa notoriété.